圆内接三角形性质定理？圆内接三角形的性质定理！

投稿用户 • 2022年12月1日 pm9:32 • 阅读资讯 • 阅读 162

在平面几何中的定三角形，有时会内接一个动三角形而产生相应的最值问题。我们可以利用三角形中的特殊角作其外接圆，然后根据动态的位置来判断最值并解之。现举三例一起来说说：

【例三】（如图）在Rt△ABC中，∠ABC=90o，∠A=30o，BC=4，点D在边BC上，且BD=1，点E、F分别为边AC、AB上的动点（点E与A不重合），且∠DEF=30o，连DF，求DF的最小值

【解析】（作△DEF的外接圆其与AC相切时）

（1）由∠DEF=30o，作△DEF的外接圆⊙O，则∠DOF=60o，△DOF为正三角形，设半径为x，即：OE=OD=OF=DF=x

（2）当外接圆⊙O与AC相切时，⊙O的半径x取最小值，此时，DF=x取最小值

（3）（如图）连OE，此时：OE⊥AC，过点D作DM⊥AC，垂足为M，DM=3√3/2，过点O作ON⊥DM，垂足为N，易证Rt△DON≌Rt△FDB，∴ON=BD=1

（4）Rt△DON中得：x2=12＋（3√3/2－x）2，得x=31√3/36，故：DF的最小值为31√3/36

【例二】（如图）在△ABC中，∠BAC=120o，AB=AC=2，点D是BC上一定点（BD=2DC），点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF=120o，连EF，求：线段EF的最小值

【解析】（由120o角作△DEF的外接圆）

（1）由：∠EDF=120o，作△DEF的外接圆⊙O，圆心角∠EOF=120o，∠OEF=∠OFE=30o

（2）由已知得：∠B=∠C=30o，∠BAC=120o，即：∠EAF=120o=∠EOF，∴A.E.F.O四点共圆，∴AO∥BC，即点O轨迹为定直线

（3）因：EF=√3OE=√3OD，当OD取最小值时，EF取最小，当OD⊥BC时，OD取最小值，此时：OD=AB/2=1，由EF=√3OD，所以得：线段EF的最小值为√3

【例三】（如图）在△ABC中，AB=AC=6，∠A=90o，点D在边AB上，且AD=2，点E、F分别为BC、AC边上的两动点，满足∠DEF=45o，则线段DF的最小值？

【解析】（利用45o角作△DEF的外接圆）

（1）作△DEF的外接圆⊙O，连半径OD=OF，∠DOF=2∠DEF=90o，∴A.D.O.F共圆，连OA所在的射线AOP，∵OD=OF，∴AP为∠BAC的平分线，亦为BC的中垂线

（2）所以：点O的轨迹为射线AP（部分），由DF=√2OD，当⊙O的半径OD为最小时，DF同时取最小，则：当⊙O与BC相切时，此时圆的半径OD为最小

（3）若⊙O切BC时，设半径为x，此时OQ=x，过点D作BC边上的垂线段DM，垂足为M，则：DM=BM=2√2，QM=√2，在Rt△DON中，得：（√2）2＋（2√2－x）2=x2，解得：x=5√2/4，即：OD的最小值为：5√2/4

（4）由DF=√2OD，∴线段DF的最小值为5/2

以上三例之分析，“道听度说”供参考。

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